Lời giải:
$(P)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ $-1$ tức $(P)$ đi qua $(0; -1)$

$\Rightarrow -1=a.0^2-2.0+c$

$\Rightarrow c=-1$

Để $P$ có min $=\frac{-4}{3}$ thì:
\(\left\{\begin{matrix} a>0\\ \frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{-4a-(-2)^2}{4a}=\frac{-4a-4}{4a}=\frac{-(a+1)}{a}=\frac{-4}{3}\end{matrix}\right.\)  

\(\Leftrightarrow a=3\)

Vậy parabol là $y=3x^2-2x-1$

Công thức đó có ở nhiều chuyên đề về parabol rồi mà bạn.

Chứng minh như sau

Giả sử ta có parabol $y=ax^2+bx+c$

$y=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$

Nếu $a>0$ thì $y\geq \frac{4ac-b^2}{4a}$. Tức là $y_{\min}=\frac{4ac-b^2}{4a}$. Giá trị này đạt tại $x+\frac{b}{2a}=0\Leftrightarrow x=-\frac{b}{2a}$

Vậy điểm cực tiểu của đths có tọa độ $(\frac{-b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a})$

Ngược lại $a< 0$ thì là cực đại và tọa độ như trên.

Từ điều kiện đề bài: (hiển nhiên a khác 0):

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4ac-b^2}{4a}=-1\\a-b+c=7\\c=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a-b^2=-4a\\a-b=6\\c=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-6\right)^2-8a=0\\b=a-6\\c=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\left\{2;18\right\}\\b=a-6\\c=1\end{matrix}\right.\)

Có 2 parabol thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}y=2x^2-4x+1\\y=18x^2+12x+1\end{matrix}\right.\)

Đỉnh của parabol là \(\frac{-\Delta}{4a}\) ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{-\Delta}{4a}=-25\\16a-4b+c=0\\36a+6b+c=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2-4ac=100a\\16a-4b+c=0\\36a+6b+c=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2-4ac=100a\\16a-4b+c=0\\36a+6b+c=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2-4ac=100a\\24a+c=0\\2a+b=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a^2-4ac=100a\\24a+c=0\\b=-2a\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-c=25\\24a+c=0\\b=-2a\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=-2\\c=-24\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y=x^2-2x-24\)

Đáp án D

Câu 1: (P) : \(y=ax^2+bx+c\)

Vì (P) cắt trục Ox tại hai điểm có hoành độ lần lượt là -1 và 2

nên (P) cắt hai điểm A(-1;0) và B (2;0)

A (-1;0) ∈ (P) ⇔ 0 = a - b+c (1)

B (2;0) ∈ (P) ⇔ 0 = 4a+2b+c (2)

Mà (P) cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng -2

nên (P) cắt C ( 0;-2)

C (0;-2) ∈ (P) ⇔ -2 = c (3)

Từ (1) ,(2) và (3) ⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}a-b+c=0\\4a+2b+c=0\\c=-2\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=2\\4a+2b=2\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy (P) : \(y=x^2-x-2\)

Câu 2: (P) : \(y=ax^2+bx+c\)

Vì (P) có đỉnh I ( -2;-1)

⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-b}{2a}=-2\\-1=4a-2b+c\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}-4a+b=0\\4a-2b+c=-1\end{matrix}\right.\)(1)

Mà (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3

nên (P) cắt A( 0;-3)

A(0;-3) ∈ (P) ⇔ -3 = c (2)

Từ (1) và (2) ⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}-4a+b=0\\4a-2b+c=-1\\c=-3\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}-4a+b=0\\4a-2b=2\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{-1}{2}\\b=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy (P) : \(y=\dfrac{-1}{2}x^2-2x-3\)